科目名 : システムと微分方程式

科目コード 91050
配当学年 2年
開講期 後期
曜時限 金曜・2時限
講義室 総合校舎102
単位数 2
履修者制限
講義形態 講義
言語
担当教員 吉川(仁)

講義概要

さまざまな自然現象や社会現象のある側面に注目して,本質的要素を抽出し,数理的モデルを作り,問題を微分方程式などの形に定式化し,方程式を解き,解の意味を吟味し,解を利用して現象を予測・制御する,というのは数理的問題解決の基本的なアプローチである.本講義では動的システムを解析するための基礎となる力学系理論を解説する.

評価方法

課題レポートと定期試験にもとづいて成績を評価する.

最終目標

(1)線形微分方程式の解き方をマスターすること,(2)定性的分析に慣れること,(3)モデルの定式化と解析ができるようになること.以上の3点に重点を置く.

講義計画

項目 回数 内容説明
モデルとは何か 2 数理的モデルとは,現実世界のある側面を抽象化した,推論規則を備えた記号体系である.簡潔で,曖昧さがなく,現実世界と記号の対応がつき,数学的分析が可能で,多くのことを正確に予測できるモデルが,よいモデル.人口変化のモデル,雪崩のモデルなどを挙げる.
問題意識 1 なぜモデルを微分方程式で作るのか?滑らかな変化をする現象が多いから.無限に短い時間や,無限に小さい部分に分解すれば,ものごとは簡単になるだろうと期待されるから.微分方程式の解の存在と一意性の問題,解の構成の問題,定性的分析の必要性.
指数関数 2 指数関数のさまざまな定義と性質.行列の指数関数.
基本的な微分方程式の解法 2 斉次線形微分方程式,非斉次線形微分方程式,連立線形微分方程式.畳み込み積の方法.行列の対角化.
定性的分析 3 相流,相図,安定性,リアプノフ関数,線形化近似,リミットサイクル.
数と量 2 次元解析.テンソル代数.
応用 3 ロケットの運動方程式,惑星の運動,食物連鎖の方程式など.求積法.

教科書

参考書

高橋陽一郎「微分方程式入門」東京大学出版会;谷村省吾「ゼロから学ぶ数学・物理の方程式」講談社;バージェス,ボリー「微分方程式で数学モデルを作ろう」日本評論社;スメール,ハーシュ「力学系入門」岩波書店;笠原皓司「微分方程式の基礎」朝倉書店.

予備知識

微分積分学, 線形代数学を履修していることが望ましい.

授業URL

その他

関連する科目:線形代数学B,線形代数学続論,微分積分学続論B,電気回路と微分方程式,システム解析入門,基礎数理演習,工業数学A2,数値解析