科目名 : 電気電子数学1

科目コード 61020
配当学年 2年
開講期 後期
曜時限 金曜・1時限
講義室 電総大
単位数 2
履修者制限
講義形態 講義
言語 英語
担当教員 大村善治・土居伸二

講義概要

電気電子工学の基礎となる電磁気学をはじめ電波工学・プラズマ物理学・量子力学等において頻出する微分方程式の解として現れる三角関数、ベッセル関数、ルジャンド関数等の固有関数、その応としてフーリエ級数、フーリエ変換・ラプラス変換について解説する。

評価方法

レポート課題(5点満点x13回)+期末試験(100点満点)を評価点とする。但し、100点以上は100点と評価する。

最終目標

様々な物理現象の時間・空間発展を記述する数学的手法を習得する。

講義計画

項目 回数 内容説明
偏微分方程式 2 様々な物理過程の偏微分方程式を楕円型、双曲型、方物型に分類する。偏微分方程式をデカルト座標系、円筒座標系、球座標系において変数分離して、各変数の常微分方程式を導出する
常微分方程式 2 2階の微分方程式について、べき級数解を求める方法について述べる。これに基づき、調和振動方程式、ベッセル方程式、ルジャンドル方程式の解を求める。これらの解の特異点、一次独立性、第二の解の構成法について述べる。
スツルム・リュウビル理論 1 自己随伴・エルミート演算子、関数の直交性、完全性について述べて、微分方程式の一般解が、各固有値に対応する固有関数の重ね合わせによって表現されることを解説する。
グリーン関数の方法 1 デルタ関数を非斉次項として持つ微分方程式の解(グリーン関数)を求め、与えられた境界条件のもとで非斉次微分方程式の解を構成する方法について述べる。
ベッセル関数 2 円筒座標系での偏微分方程式の解を構成するのに使われるベッセル関数についてガンマ関数を用いて表現し、母関数の展開から固有関数としてのベッセル関数が得られることを示す。第二の解としてのノイマン関数、ベッセル関数の変形としてのハンケル関数について述べる。さらに、球座標系におけるヘルムホルツ波動方程式の解がベッセル関数を応用した球ベッセル関数によって表現されることを示す。
ルジャンドル関数 1 球座標系での偏微分方程式の解を構成するのに使われるルジャンドル関数が、母関数を展開して得られる一連の多項式によって表現されることを示す。ラプラス方程式の一般解をルジャンドル関数を用いて表現する。
フーリエ級数 1 周期的に繰り返される現象は周期境界条件を伴う微分方程式で記述される。この方程式の解を求める手法として、三角関数を用いるフーリエ級数について述べ、特に不連続点を含む周期関数もフーリエ級数によって表現できることを示す。
フーリエ変換 2 有限の周期性を持つフーリエ級数を正負無限の空間に拡張して、非周期関数を指数関数で表すフーリエ変換について解説する。微分方程式にフーリエ変換を適応することで、固有関数としての解を求めることが出来て、その逆変換により微分方程式の解が得られることを示す。2つの関数のフーリエ変換・逆変換に関する畳み込み積分について解説する。
ラプラス変換 2 実変数の指数関数を用いるフーリエ変換を拡張して、正の時間軸で定義される時間関数を、複素変数を含む指数関数を用いて表現するラプラス変換について解説する。時間関数の微分方程式の初期値問題をラプラス変換および逆変換を用いて解く。

教科書

Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide, Seventh Edition, Arfken, Weber, and Harris (Kindle version is available.)

参考書

予備知識

微分積分学, ベクトル解析, 複素関数論, VOA Special English 程度の英語理解力

授業URL

その他

数学用語や数式を英語で読めないため、国際的な場面でコミュニケーションできない人が多い。講義は原則として英語で行う。